3. CUERPO
RÍGIDO
Un cuerpo rígido, es un concepto, que
representa cualquier cuerpo que no se deforma y es representado por un conjunto
de puntos en el espacio que se mueven de tal manera que no se alteran las
distancias entre ellos, sea cual sea la fuerza actuante sobre él:
|ra
-rb | = c
Las ecuaciones de movimiento para
un cuerpo rígido son las mismas que se utilizan para
resolver problemas relacionados con cinemática, es decir:
De manera general:
ENERGÍA
DE ROTACIÓN
La energía cinética de un sistema es la suma de las energía cinética de las partículas que lo forman. Cuando un sólido rígido gira en torno a un eje que pasa por su centro de masas las partículas describen un movimento circular en torno a dicho eje con una velocidad lineal distinta según sea la distancia de la partícula al eje de giro pero todas giran con la misma velocidad angular ω, ya que en caso contrario el sólido se deformaría. La relación entre ambas velocidades aparece en la figura siguiente:
La
energía cinética del sólido causada por el movimiento de rotación será
entonces:
El sumatorio es
el momento de inercia del sólido con respecto al eje de rotación,
luego
Esta
energía corresponde a la energía cinética interna, ya que tiene está
referida al centro de masas. Si éste a su vez se está moviendo con respecto a
un origen, la energía cinética total del sólido se calculará sumando la energía
cinética de rotación y la de traslación del centro de masas (energía cinética
orbital):
Ejemplo
Un disco homogéneo de masa M y radio R1
tiene un pequeño saliente de radio R2, como se indica en la figura. El disco
parte del reposo y rota alrededor de un eje que pasa por su centro, debido a la
acción de los bloques de masas m1 y m2. Determine la energía cinética total en
función del tiempo,.
MOVIMIENTO
GIROSCÓPICO
El giróscopo es una rueda giratoria cuyo eje
puede cambiar de dirección, tal como se muestra en la figura.
Cuando un sólido en rotación está girando
alrededor de un eje principal de inercia
L=Iω.
En ausencia de momento de fuerzas sobre el
sólido, M, el cuerpo seguirá rotando con respecto a dicho eje con
velocidad angular constante. Si el momento aplicado sobre el sólido en rotación
no es nulo, el momento angular experimenta un cambio en su dirección tal como
se muestra en la figura.
dLdt=M
Las fuerzas aplicadas sobre el sólido en
rotación son:
*El peso mg que actúa sobre el
centro de masas, situado a una distancia b del punto de apoyo O.
* La reacción N en el punto de
apoyo O
El momento M de
las fuerzas respecto del punto fijo O es
mgb·sinφ
El cambio de momento
angular dL tiene la dirección del momento M de las fuerzas
aplicadas respecto del punto de apoyo O, ya que el momento M es
perpendicular al momento angular L, el cambio de momento
angular dL es también perpendicular a L, y el momento
angular L cambia de dirección pero no de módulo.
El extremo del vector momento
angular L describe una circunferencia de radio Lsinφ, y en
un intervalo de tiempodt se desplaza un ángulo dø;. El cambio de
momento angular es dL=Lsinφ·dø, de modo que,
Iω⋅sinφdϕdt=mgbsinφ
Se denomina velocidad angular de precesión
Ω a
Ω=dϕdt=mgbIω
Cuando el punto de apoyo O coincide con el
centro de masas b=0, el momento M de las fuerzas es cero y la
velocidad angular de precesión Ω es nula. El eje del giróscopo se mantiene fijo
en el espacio.
Esta
descripción es aproximada, siempre que la velocidad angular ω, sea grande
en comparación con la velocidad angular de precesión Ω. Un análisis más
detallado del problema indica que el sólido tiene tres movimientos:
*De rotación alrededor de su eje principal
de inercia con velocidad angular ω
*De precesión alrededor del eje vertical Z,
con velocidad angular Ω
*De nutación o de oscilación del eje
vertical entre dos círculos.
No solamente el movimiento de rotación
contribuye al momento angular L, como hemos supuesto, sino también y en menor
medida, los movimientos de precesión y de nutación, esto es lo que hace difícil
el análisis detallado de este sistema mecánico.
Los fenómenos giroscópicos tiene muchas
aplicaciones: la tendencia de un giróscopo a mantener el eje de rotación fijo
en el espacio en ausencia de momento es utilizado en la estabilización de los
barcos y en los pilotos automáticos de los aviones.
Otro ejemplo interesante es la precesión de
los equinoccios. El plano del ecuador hace un ángulo de 23º 37’ con el plano de
la órbita terrestre o eclíptica. La intersección d elos dos planos es la línea
de los equinoccios. La Tierra es un giróscopo gigante cuyo eje de rotación
precesa alrededor del eje perpendicular al plano de la eclíptica con un periodo
de 27725 años. La precesión de los equinoccios se debe al momento de las
fuerzas ejercido por el Sol y la Luna sobre la Tierra.
