DINÁMICA ROTACIONAL

En general se utiliza un cuerpo sólido ideal no puntual e indeformable denominado sólido rígido como ejemplo básico para estudiar los movimientos de rotación de los cuerpos. La velocidad de rotación está relacionada con el momento angular. Para producir una variación en el momento angular es necesario actuar sobre el sistema con fuerzas que ejerzan un momento de fuerza. La relación entre el momento de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y la aceleración angular se conoce como momento de inercia (I) y representa la inercia o resistencia del cuerpo a alterar su movimiento de rotación.

     El torque producido por una fuerza es un cuantificador del efecto racional que produce la aplicación de una fuerza sobre algún punto. El torque producido por la fuerza F respecto a un punto O es:

y su modulo es :

F sen

Fr = fuerza tangencial

(1)

(2) en (1)

ar = d.r

Fr = m.d.r (2)
(3)

es el torque de la fuerza con el eje relacionado.

r: es la distancia perpendicular de la partícula al eje.

aceleración angular de la partícula.

MOMENTO ANGULAR DE UNA PARTÍCULA

       El momento angular L de una partícula es el vector producto vectorial L=r xmv, perpendicular al plano determinado por el vector posición r y el vector velocidad v. Como el vector L permanece constante en dirección, r y v estarán en un plano perpendicular a la dirección fija de L.

     De aquí, se concluye que la trayectoria del móvil estará contenida en un plano perpendicular al vector momento angular. El momento angular es una Magnitud vectorial que utilizamos en física para caracterizar el estado de rotación de los cuerpos.

     El momento angular de una partícula puntual: Lo utilizamos para caracterizar el estado de rotación de un punto o de un cuerpo que se pueda tratar como tal. Esto sucede cuando las dimensiones del cuerpo son despreciables frente a las de la trayectoria de su movimiento.

    El momento angular de un sistema de partículas: Lo utilizamos, por ejemplo, para caracterizar el estado de rotación del sólido rígido.

Magnitudes angulares vectoriales

     Para poder describir con precisión y coherencia cómo se comportan los cuerpos cuando rotan hemos de presentar como vectores las magnitudes angulares cinemáticas. Para ello debemos llegar a algún tipo de acuerdo sobre la dirección y sentido que presentarán estás magnitudes, ya que, estos nos son tan claros como el caso de la velocidad lineal, por ejemplo, o la fuerza que se ejerce sobre una partícula.

    Consideraremos como punto de aplicación el centro geométrico y como dirección el eje de giro. El sentido del vector varía en función de la magnitud que consideramos.

Ejemplo:

     Dos niños de 25 kg de masa cada uno están situados en el borde de un disco de 2.6 m de diámetro y 10 kg de masa. El disco gira a razón de 5 rpm respecto del eje perpendicular al disco y que pasa por su centro.

     ¿Cuál será la velocidad angular del conjunto si cada niño se desplaza 60 cm hacia el centro del disco?.

     Calcular la variación de energía cinética de rotación del sistema, y explica la

causa del incremento de energía.

Conservación del momento angular

I1=1210⋅1.32+2(25⋅1.32)  ω1=5⋅2π60=π6 rad/s

I2=1210⋅1.32+2(25⋅0.72)

I1ω1=I2ω2  ω2=1.48 rad/s

Variación de la energía cinética

ΔE=Ek2−Ek1=12I2ω22−12I1ω21=27.2 J

      La fuerza sobre un niño para que describa un movimiento circular de radio r es F=mω2r, cuando la plataforma gira con velocidad angular ω. El trabajo de la fuerza F cuando el niño pasa de la posición inicial (en el borde) a la posición final (hacia el centro) incrementa la energía cinética de rotación.

TORQUE EXTERNO. RESPECTO AL CENTRO DE MASAS Y AL SISTEMA DE LABORATORIO

Torque externo:

     Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, el cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje. La propiedad de la fuerza para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos torque o momento de la fuerza. Se prefiere usar el nombre torque y no momento, porque este último se emplea para referirnos al momento lineal, al momento angular o al momento de inercia, que son todas magnitudes físicas diferentes para las cuales se usa el mismo término.

     Podemos utilizar una situación es la de una moneda que hacemos girar rápidamente cuando le aplicamos en forma simétrica un par de fuerzas en los bordes. En este caso, si nos hemos preocupado de aplicar dos fuerzas iguales en magnitud y dirección pero de sentidos opuestos sobre el borde de la moneda, esta rotara en torno a un eje imaginario que atraviesa el cuerpo.

    En estas operaciones intervinieron la fuerza aplicada y su brazo de acción: distancia entre el punto de aplicación y el eje de giro, que son los dos parámetros que contiene el concepto de torque.

       Cuando existe un par de fuerzas que actúan sobre puntos distintos de un sólido rígido (que no sufre deformación), existe lo que se denomina un torque y su efecto genera una aceleración angular sobre el cuerpo. El torque con respecto a un origen arbitrario O, es el producto vectorial entre el vector posición que une el punto de referencia O con el punto P y la fuerza ~F:

Respecto al centro de masas

    El movimiento en torno al centro de masa se describe mediante la ecuación general del movimiento angular para un sistema de partículas donde τc es el torque externo neto ejercido sobre el sistema, medido con respecto al centro de masa y H c es el momento angular del sistema con respecto al centro de masa. 

Ejemplo
    Una tabla uniforme de 60 N sostiene a dos niños que pesan 450N y 350 N, el soporte está justo en el centro de gravedad de la tabla y el niño de 450 N esta a 1,4 m del centro, determinar:

a) La fuerza ascendente que el soporte ejerce sobre la tabla.

b) Donde debe estar el niño para equilibrar la tabla. 

Fa = 450N + 60N + 350 NSt = 0
450 x 1,4 – 350 x = 0
X = 1,8 m 

     Una viga horizontal uniforme de 300 N y de 5 m de longitud esta fija en un muro por la unión de un perno que permite que la viga gire: Su extremo está sostenida por un cable que forma un ángulo de 53° con la horizontal (ver figura). Si la persona está de pie a 1,5 m del muro, calcular la tensión del cable, la fuerza que ejerce sobre la viga. 

Solución:

    En primer lugar se deben identificar todas las fuerzas externas que actúan sobre la viga. Aplicando la primera condición de equilibrio, tenemos: 

S Fx = Fmx _ T cos 53° = 0
S Fy = Fmy + T sen 53°  - 600N – 300N = 0

     En las ecuaciones anteriores tenemos tres incógnitas, por lo tanto no podemos  encontrar las solución mediante la primera condición  de equilibrio por lo tanto usaremos ahora la segunda condición de equilibrio.

St = 0
St =  (T sen 53°)(5 m) – 300N) (2,5m)-(600 N) (1,5 m) = 0
T = 413 N, Fmx =249 N      Fmy =570 N

LEY DE NEWTON SOBRE DINÁMICA DE CUERPOS RÍGIDOS

     Las leyes de Newton describen como se relacionan las fuerzas que actúan sobre un objeto con el movimiento que este experimenta. Hasta ahora habíamos estudiado el efecto de dichas fuerzas sobre una partícula puntual: modifican su movimiento de traslación. Cuando en lugar de una partícula tenemos un sólido rígido, las fuerzas pueden provocar o modificar, adicionalmente al de traslación, otro tipo de movimiento: el de rotación.

    La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nos dice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleración que adquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo, de manera que podemos expresar la relación de la siguiente manera :

F=ma

      Tanto la fuerza como la aceleración son magnitudes vectoriales, es decir, tienen, además de un valor, una dirección y un sentido. De esta manera, la Segunda ley de Newton debe expresarse como:

F = m a

Ejemplo: Calcular la aceleración que produce una fuerza de 5 N a un cuerpo cuya masa es de 1000g

Expresar el resultado en m/s².

DATOS	FÓRMULA	SUSTITUCIÓN	RESULTADO
A = ?	a = F / m	a = 5 Kg m/s² / 2 Kg =	2.5 m/s²
F = 5 N
m = 2000g = 2Kg

PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR

     El principio de conservación del momento angular afirma que si el momento de las fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean cero, que sea un sistema aislado), el momento angular total se conserva, es decir, permanece constante. Mext= r x F será cero si la fuerza y el vector posición tienen la misma dirección. Este tipo de fuerzas se llaman Fuerzas Centrales.

Ejemplo:

    Una esfera de 500 g de masa está atada a una cuerda de masa despreciable de 1 m de longitud y gira con una velocidad de 4 m·s-1 en un plano horizontal en Torno a un punto O, tal y como se indica en la figura. En un determinado momento, la cuerda comienza a enrollarse alrededor de dicho punto, disminuyendo con ello su longitud y por tanto el radio de giro.

a) Calcula el momento angular inicial respecto al punto O.

      El momento angular viene dado por la expresión  .

Sustituyendo los valores del enunciado:

b) El valor de la velocidad lineal (v) cuando se haya enrollado el 80% de la cuerda.

      Como las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en movimiento son de tipo central, su momento angular se conservará en el tiempo, y el momento angular en el instante inicial será igual al momento angular cuando se haya enrollado el 80% de la cuerda, momento en el que el radio de giro será 1·(1-0.8) = 0.2 m.

     El momento angular inicial se ha calculado en el apartado a):

    Y en el instante final:

     Como según la conservación del momento angular:

     Al reducir el radio de giro debe de aumentar la velocidad de la esfera.

Momento de Inercia

En la ecuación (3) el producto m.r2 se denomina “momento de inercia” o “inercia rotacional” de la partícula que gira alrededor del punto cero. Se la representa con la letra I.

I = mr2.

El momento de inercia dependerá de la masa de la partícula y de la distancia de la partícula al punto de referencia.

Si se tuviere un sistema de n partículas el momento de inercia respecto a un eje es :

Io = m1r12+ m2r22+….+ mnrn2 =

SI

El radio de giro es la distancia r o un eje al cual una partícula de masa igual a la masa igual del sistema, tendría el mismo momento de Inercia que el sistema original es decir:

I(6o') = m1r12+ m2r22+….+ mnrn2 = MR02

I= MR02

donde:

RG : Es el radio de giro

m: masa total del sistema (m1+m2…..+mn)

Calcular el momento de inercia y el radio de giro del sistema respecto:

  Al eje perpendicular al plano que pasa por A

  Al eje perpendicular al plano que pasa por B

  Respecto al eje AB

  Respecto al Eje AC

  r1(A) = 0

r2(A) = 4m

r3(A) = 5m

m=m1+m2+m3

m = 2kg+3kg+3kg = 8kg

b)  

= 2kg (16m2)+3kg(9)m2

= 32kgm2 + 27kgm2

= 59 kgm2

  r1 = 0

r2=0

r3(AB) = 3m

I = 3kg(9)m2

I = 27kgm2

 

 
= 1.83m

  r1 = 0

r2 = 2.4

r3 = 0

AB * CB = AC * r

4 * 3 = 5 * r

r = 2.4

= 3(2.4)2

= 17.28kgm2