MOMENTO ANGULAR

Momento angular de un sólido rígido

      Las partículas de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen v_i=w ·r_i

 

   En la figura, se muestra el vector momento angular L_i de una partícula de masa m_i cuya posición está dada por el vector r_i y que describe una circunferencia de radio R_i con velocidad v_i. El módulo del vector momento angular vale 

L_i=r_im_iv_i  

Su proyección sobre el eje de rotación Z es

L_iz=m_iv_ir_icos(90-q _i), es decir,

 

    _{El momento angular de todas las partículas del sólido es} 

 

    

     _{La proyección Lz del vector momento angular a lo largo del eje de rotación es} 

 

    _{El término entre paréntesis se denomina momento de inercia} 

 

   

     En general, el vector momento angular L no tiene la dirección del eje de rotación, es decir, el vector momento angular no coincide con su proyección L_z a lo largo del eje de rotación. Cuando coinciden se dice que el eje de rotación es un eje principal de inercia.

     Para estos ejes existe una relación sencilla entre el momento angular y la velocidad angular, dos vectores que tienen la misma dirección, la del eje de rotación

 

L=Iw

 

     El momento de inercia no es una cantidad característica como puede ser la masa o el volumen, sino que su valor depende de la posición del eje de rotación. El momento de inercia es mínimo cuando el eje de rotación pasa por el centro de masa.

Cuerpo	Momento de inercia Ic
Varilla delgada de longitud L
Disco y cilindro de radio R
Esfera de radio R
Aro de radio R	mR2

 

 

Ejemplo: El sistema de la figura está inicialmente en reposo. El bloque de 30 kg está a 2 m del suelo. La polea (I=½MR²) es un disco uniforme de 20 cm de diámetro y 5 kg de masa. Se supone que la cuerda no resbala sobre la polea. Encontrar:

 

·      La velocidad del bloque de 30 kg justo antes de tocar el suelo.

·      La velocidad angular de la polea en ese instante.

·      Las tensiones de la cuerda.

·      El tiempo que tarda el bloque de 30 kg en tocar el suelo.

 

 

IMPULSO ANGULAR

     En la dinámica de una partícula vimos el concepto de impulso lineal. Una fuerza aplicada durante un tiempo modifica el momento lineal (la velocidad de la partícula).

 

     En el caso de un sólido en rotación la magnitud equivalente se denomina impulso angular.

 

    El momento de las fuerzas que se aplican durante un tiempo t a un sólido rígido en movimiento de rotación alrededor de un eje fijo, modifica el momento angular del sólido en  rotación.

  

 

 

Ejemplo:  

 

Dos esferas iguales de masas 6 kg y 20 cm de radio están montadas como se indica en la figura, y pueden deslizar a lo largo de una varilla delgada de 3 kg de masa y 2 m de longitud. El conjunto gira libremente con una velocidad angular de 120 rpm respecto a un eje vertical que pasa por el centro del sistema.

    Inicialmente los centros de las esferas se encuentran fijos a 0.5 m del eje de giro. Se sueltan las esferas y las esferas deslizan por la barra hasta que salen por los extremos. Calcular:

·         La velocidad angular de rotación cuando los centros de las esferas se encuentran en los extremos de la varilla.

·         Hallar la energía cinética del sistema en los dos casos.

Conservación del momento angular

I1=1123⋅22+2(256⋅0.22+6⋅0.52)

ω1=120⋅2π60=4π rad/sI2=1123⋅22+2(256⋅0.22+6⋅12)

I1ω1=I2ω2

ω2=1.27π rad/s

Variación de la energía cinética

Ek1=12I1ω21=330.99 J

Ek2=12I2ω22=105.20 J

CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR CLÁSICO

     Cuando la suma de los momentos externos es cero , hemos visto que:

 

    Eso quiere decir que . Y como es un vector, es constante tanto en módulo como en dirección.

    Consideremos un objeto que puede cambiar de forma. En una de esas formas, su Momento de inercia es y su velocidad angular . Si el objeto cambia de forma (sin intervención de un momento externo) y que la nueva distribución de masas hace que su nuevo Momento de inercia sea , su velocidad angular cambiará de manera tal que:

   

 

En algunos casos el momento de inercia se puede considerar un escalar. Entonces la dirección del vector velocidad angular no cambiará. Solo cambiará la velocidad de rotación.

    Hay muchos fenómenos en los cuales la conservación del momento angular tiene mucha importancia. Por ejemplo:

·           En todos las artes y los deportes en los cuales se hacen vueltas, piruetas, etc.

·         Para controlar la orientación angular de un satélite o sonda espacial.

·         Algunas estrellas se contraen convirtiéndose en púlsar (estrella de neutrones). Su diámetro disminuye hasta unos kilómetros, su momento de inercia disminuye y su velocidad de rotación aumenta enormemente. Se han detectado pulsares con periodos rotación de tan sólo unos milisegundos.

·         Debido a las mareas, la Luna ejerce un momento sobre la Tierra. Este disminuye el momento angular de la Tierra y, debido a la conservación del momento angular, el de la Luna aumenta. En consecuencia, la Luna aumenta su energía alejándose de la Tierra y disminuyendo su velocidad de rotación (pero aumentando su momento angular). La Luna se aleja y los días y los meses lunares se alargan,

Ejemplo:

 

Una bala de 100 g que lleva una velocidad horizontal de 50 m/s choca con el centro del cilindro de un péndulo. Después del choque la bala se mueve con una velocidad de 40 m/s. El péndulo gira alrededor de O y está formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud, y un cilindro de 500 g de masa y 5 cm de radio.

·         Calcular el ángulo máximo que gira el péndulo como consecuencia del choque y la energía perdida en el mismo.

    Momento de inercia del péndulo respecto de un eje que pasa por el extremo de la varilla.

IO=(1120.2⋅0.22+0.2⋅0.12)+(120.5⋅0.052+0.5⋅0.252)=0.034 kgm2

  

Principio de conservación del momento angular

0.1·50·0.25=I_Oω+0.1·40·0.25, ω=7.24 rad/s

Posición del centro de masa respecto del extremo O de la varilla

xc=0.2⋅0.1+0.5⋅0.250.2+0.5=0.21 m

Principio de conservación de la energía. La energía cinética de rotación del péndulo se transforma en energía potencial de su c.m.

0.7⋅9.8⋅(xc−xccosθ)=12IOω2  θ=68.7º

Energía perdida en el choque

ΔE=12IOω2+120.1⋅402−120.1⋅502=−44.09 J

La rotación de cuerpos físicos

      Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un punto permanece fijo.

      La rotación de un cuerpo se representa mediante un operador que afecta a un conjunto de puntos o vectores. El movimiento rotatorio se representa mediante el vector velocidad angular, que es un vector de carácter deslizante y situado sobre el eje de rotación. Cuando el eje pasa por el centro de masa o de gravedad se dice que el cuerpo «gira sobre sí mismo».

     La rotación también puede ser oscilatoria, como en el péndulo. Los giros son completos sólo cuando la energía es lo suficientemente alta. En ingeniería mecánica, se llama revolución a una rotación completa de una pieza sobre su eje (como en la unidad de revoluciones por minuto), mientras que en astronomía se usa esta misma palabra para referirse al movimiento orbital de traslación de un cuerpo alrededor de otro (como los planetas alrededor del sol).

Ejemplo:

    Una rueda gira con una aceleración angular constante de 3,5 rad/seg2 si La velocidad angular de la rueda es de 2 rad/seg. En t0 = 0 seg.

a) Que ángulo barre la rueda durante 2 seg.

 

b) Cual es la velocidad angular en t = 2 seg.

  

 

La traslación física

    En física, la traslación es un movimiento en el cual se modifica la posición de un objeto, en contraposición a una rotación.Una traslación es la operación que modifica las posiciones de todos los cuerpos. En forma alternativa, es posible definir una traslación como una operación sobre los objetos, tal que todas sus propiedades como color, composición, etc. se corresponden. Pero no deben confundirse las dos: una traslación del espacio no posee puntos fijos, los puntos fijos de una traslación en el otro sentido son los objetos con sus correspondientes simetrías de traslación. de acuerdo con el teorema de noether, la simetría de traslación es equivalente a la conservación del momento de fuerza.